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Introduction aux statistiques bayésiennes

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Pourquoi renverser les probabilités ?

    On passe de P(observation | hypothèse) à P(hypothèse | observation).

  2. Chapitre 2 : La formule qui actualise les croyances

    Posterior ∝ Vraisemblance × Prior

  3. Chapitre 3 : Un test positif est-il si fiable ?

    Avec une maladie rare, même un bon test produit beaucoup de faux positifs.

  4. Chapitre 4 : Au-delà du calcul : une méthode de pensée

    La probabilité a posteriori devient le nouveau point de départ.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Que représente P(H|E) dans la formule de Bayes ?

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    Réponse : La probabilité a posteriori de H sachant E

    P(H|E) est la probabilité de l'hypothèse H après avoir observé l'événement E, appelée probabilité a posteriori.

  2. 2.Si P(A)=0,3, P(B|A)=0,8 et P(B|¬A)=0,2, alors P(B) vaut :

    1. A.0,24
    2. B.0,38
    3. C.0,30
    4. D.0,56
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    Réponse B : 0,38

    P(B) = P(B|A)×P(A) + P(B|¬A)×P(¬A) = 0,8×0,3 + 0,2×0,7 = 0,24 + 0,14 = 0,38.

  3. 3.Un test a une prévalence de 5%, une sensibilité de 90% et un taux de faux positifs de 10%. La probabilité d'être malade si le test est positif est environ :

    1. A.10 %
    2. B.50 %
    3. C.32 %
    4. D.90 %
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    Réponse C : 32 %

    P(E) = 0,05×0,9 + 0,95×0,1 = 0,045 + 0,095 = 0,14. Donc P(H|E) = 0,045 / 0,14 ≈ 0,32 soit 32 %.

  4. 4.Le théorème de Bayes est une conséquence directe de :

    1. A.la loi uniforme
    2. B.la définition de la probabilité conditionnelle
    3. C.la loi binomiale
    4. D.le théorème central limite
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    Réponse B : la définition de la probabilité conditionnelle

    La formule de Bayes découle de P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A), donc de la définition de la probabilité conditionnelle.

  5. 5.Pourquoi un test médical très sensible peut donner beaucoup de faux positifs ?

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    Réponse : Car la maladie est rare donc la plupart des positifs viennent des non-malades

    Si la maladie est rare, le grand nombre de non-malades produit de nombreux faux positifs même avec un faible taux de faux positifs.

  6. 6.Dans la formule de Bayes, la vraisemblance correspond à :

    1. A.P(H|E)
    2. B.P(E)
    3. C.P(E|H)
    4. D.P(H)
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    Réponse C : P(E|H)

    La vraisemblance est la probabilité d'observer les données E sachant que l'hypothèse H est vraie, notée P(E|H).

  7. 7.Après observation d'une information E, la probabilité a posteriori P(H|E) peut être utilisée comme :

    1. A.aucune de ces réponses
    2. B.vraisemblance
    3. C.nouvelle probabilité a priori pour une information future
    4. D.évidence totale
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    Réponse C : nouvelle probabilité a priori pour une information future

    Le bayésianisme est itératif : le posterior d'une étape devient le prior de l'étape suivante.

  8. 8.Si P(H|E)=0,2, alors P(¬H|E) vaut :

    1. A.impossible à calculer
    2. B.1,0
    3. C.0,2
    4. D.0,8
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    Réponse D : 0,8

    Pour un événement E fixé, les probabilités conditionnelles de H et ¬H sachant E somment à 1 : P(¬H|E) = 1 - P(H|E) = 0,8.