Convexité et points d'inflexion
Fiche de révision · Mathématiques · Term
L'essentiel du cours
Chapitre 1 : Convexité : une histoire de courbure
Convexe = courbe en creux (∪), concave = courbe en bosse (∩).
Chapitre 2 : Dérivée seconde et convexité
Le signe de f'' donne la convexité : f'' ≥ 0 ⇒ convexe, f'' ≤ 0 ⇒ concave.
Chapitre 3 : Point d'inflexion : le virage de la courbe
Un point d'inflexion = f'' s'annule ET change de signe.
Chapitre 4 : Applications et méthode d'étude
Méthode : f'' → signe de f'' → convexité et points d'inflexion.
Teste-toi · 8 questions
1.Une fonction f est convexe sur un intervalle I si...
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Réponse : f' est croissante sur I
La convexité équivaut à la croissance de la dérivée f', donc f'' est positive ou nulle.
2.La fonction f(x)=x² est...
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Réponse : convexe sur ℝ
f''(x)=2 > 0 pour tout réel x, donc f est convexe sur ℝ.
3.La dérivée seconde f'' mesure...
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Réponse : la vitesse de variation de f'
f'' est la dérivée de f', elle indique comment la pente des tangentes évolue.
4.Pour f(x)=x³, f''(x)=6x. Le point d'inflexion de la courbe est...
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Réponse : (0;0)
f'' s'annule en 0 et change de signe : négative avant 0, positive après 0, donc (0;0) est un point d'inflexion.
5.Si f''(x) < 0 sur un intervalle I, alors f est...
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Réponse : concave sur I
Un signe négatif de f'' indique que f' décroît, donc f est concave.
6.La condition f''(a)=0 suffit-elle pour affirmer que la courbe admet un point d'inflexion en a ?
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Réponse : Non, il faut aussi un changement de signe de f''
Il faut que f'' s'annule en changeant de signe. Par exemple f(x)=x⁴ a f''(0)=0 mais pas de point d'inflexion.
7.Quelle fonction admet un point d'inflexion en 0 ?
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Réponse : f(x)=x³
Pour f(x)=x³, f''(x)=6x change de signe en 0, donc point d'inflexion. Les autres n'ont pas ce changement.
8.Pour f(x)=x³-3x, f''(x)=6x. Sur l'intervalle ]-∞;0[, f est...
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Réponse : concave
Sur ]-∞;0[, f''(x)=6x < 0, donc f est concave sur cet intervalle.