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Intégrales généralisées et convergence

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : De l'intégrale classique à l'intégrale généralisée

    Une intégrale généralisée est d'abord une limite d'intégrales sur des intervalles bornés.

  2. Chapitre 2 : Exemples de référence : les intégrales de Riemann

    Les intégrales de Riemann \(\int_1^{+\infty} 1/t^\alpha\) convergent uniquement pour \(\alpha>1\).

  3. Chapitre 3 : Critères de convergence par comparaison

    Pour des fonctions positives, être plus petite qu'une fonction intégrable suffit à garantir la convergence.

  4. Chapitre 4 : Des intégrales généralisées dans la vie réelle

    Une intégrale généralisée convergente correspond à une grandeur totale finie malgré un horizon infini.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Que signifie que \(\int_a^{+\infty} f(t)dt\) converge ?

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    Réponse : La limite \(\lim_{x\to+\infty}\int_a^x f(t)dt\) est finie.

    La convergence d'une intégrale généralisée se définit par l'existence d'une limite finie de l'intégrale partielle quand la borne supérieure tend vers l'infini.

  2. 2.\(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^3}dt\) vaut :

    1. A.2
    2. B.+∞
    3. C.1/2
    4. D.1
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    Réponse C : 1/2

    Une primitive de \(t^{-3}\) est \(-\frac{1}{2}t^{-2}\). De 1 à x on obtient \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2}\), qui tend vers 1/2.

  3. 3.L'intégrale \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{t}}dt\) est :

    1. A.convergente vers 0
    2. B.divergente
    3. C.convergente vers 2
    4. D.convergente vers 1
    Voir la réponse

    Réponse B : divergente

    Ici \(\alpha = 1/2 < 1\), donc d'après le critère de Riemann, l'intégrale diverge vers +∞.

  4. 4.Pour \(\alpha>0\), \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha}dt\) converge si :

    1. A.\(\alpha > 1\)
    2. B.\(\alpha \ge 1\)
    3. C.\(\alpha < 1\)
    4. D.\(\alpha = 1\)
    Voir la réponse

    Réponse A : \(\alpha > 1\)

    Le critère de Riemann indique que l'exposant doit être strictement supérieur à 1 pour que l'intégrale généralisée converge.

  5. 5.Si \(0\le f(t)\le g(t)\) et \(\int_a^{+\infty} g(t)dt\) converge, alors :

    1. A.on ne peut rien dire
    2. B.\(\int f\) converge
    3. C.\(\int f\) est nulle
    4. D.\(\int f\) diverge
    Voir la réponse

    Réponse B : \(\int f\) converge

    C'est le principe de comparaison : une fonction positive plus petite qu'une fonction intégrable a aussi une intégrale convergente.

  6. 6.L'intégrale \(\int_0^{+\infty} e^{-t}dt\) vaut :

    1. A.0
    2. B.e
    3. C.1
    4. D.+∞
    Voir la réponse

    Réponse C : 1

    Une primitive de \(e^{-t}\) est \(-e^{-t}\). De 0 à x on obtient \(1 - e^{-x}\), qui tend vers 1.

  7. 7.Quelle fonction a une intégrale généralisée convergente sur \([1,+\infty[\) ?

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    Réponse : \(1/t^2\)

    Seule \(1/t^2\) correspond à un exposant \(\alpha=2>1\) dans le critère de Riemann, donc son intégrale converge.

  8. 8.Pour étudier \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}dt\), on peut utiliser :

    1. A.une équivalence avec \(\cos t\)
    2. B.une majoration par \(1/t^2\)
    3. C.le théorème des valeurs intermédiaires
    4. D.aucun critère
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    Réponse B : une majoration par \(1/t^2\)

    Comme \(|\cos t|\le 1\), on a \(|\cos t|/t^2 \le 1/t^2\). Or \(1/t^2\) est intégrable sur \([1,+\infty[\), donc l'intégrale converge absolument.