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Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Fiche de révision · Mathématiques · Term

L'essentiel du cours

  1. Chapitre 1 : Qu'est-ce qu'un graphe probabiliste ?

    Chaque sommet = un état, chaque arête = une probabilité de transition.

  2. Chapitre 2 : La matrice de transition

    Les lignes décrivent l'état de départ, les colonnes l'état d'arrivée.

  3. Chapitre 3 : Chaîne de Markov et état probabiliste

    Tout le passé est résumé dans l'état présent : c'est la propriété de Markov.

  4. Chapitre 4 : Distribution invariante et état stable

    La distribution invariante donne la répartition vers laquelle le système converge.

Teste-toi · 8 questions

  1. 1.Dans un graphe probabiliste, la somme des probabilités des arêtes sortantes d'un sommet vaut :

    1. A.1
    2. B.0
    3. C.cela dépend du graphe
    4. D.le nombre de sommets
    Voir la réponse

    Réponse A : 1

    Depuis un état, on passe obligatoirement à un état du système, donc la somme des probabilités de toutes les transitions possibles vaut 1.

  2. 2.Le coefficient m_{ij} d'une matrice de transition correspond à :

    1. A.la probabilité de passer de l'état j à l'état i
    2. B.la probabilité de passer de l'état i à l'état j
    3. C.la probabilité de rester dans l'état i
    4. D.le nombre d'arêtes entre i et j
    Voir la réponse

    Réponse B : la probabilité de passer de l'état i à l'état j

    Par convention, m_{ij} désigne la probabilité de transition de l'état i vers l'état j.

  3. 3.Si P_n = (0,5 ; 0,5) et M = [[0,8,0,2],[0,4,0,6]], alors P_{n+1} vaut :

    1. A.(0,56 ; 0,44)
    2. B.(0,5 ; 0,5)
    3. C.(0,64 ; 0,36)
    4. D.(0,6 ; 0,4)
    Voir la réponse

    Réponse D : (0,6 ; 0,4)

    On calcule P_{n+1} = P_n M : 0,5×0,8+0,5×0,4 = 0,6 et 0,5×0,2+0,5×0,6 = 0,4.

  4. 4.La propriété de Markov signifie que :

    1. A.les états sont indépendants
    2. B.l'état futur dépend de tous les états passés
    3. C.l'état futur dépend seulement de l'état présent
    4. D.les probabilités sont constantes
    Voir la réponse

    Réponse C : l'état futur dépend seulement de l'état présent

    Une chaîne de Markov est sans mémoire : la transition vers l'état suivant ne dépend que de l'état actuel.

  5. 5.Une distribution invariante π vérifie :

    1. A.π M = π
    2. B.π + M = π
    3. C.π M = 0
    4. D.M π = π
    Voir la réponse

    Réponse A : π M = π

    La distribution invariante reste inchangée après multiplication par la matrice de transition : π M = π.

  6. 6.Si la matrice de transition est M = [[1,0],[0,1]], alors :

    1. A.M n'est pas une matrice de transition
    2. B.on alterne toujours entre les états
    3. C.la distribution est nulle
    4. D.les états ne changent jamais
    Voir la réponse

    Réponse D : les états ne changent jamais

    Chaque état a une probabilité 1 de rester dans le même état : le système est figé.

  7. 7.Pour une matrice de transition 2×2, la somme des coefficients de la première ligne est :

    1. A.impossible à savoir
    2. B.égale à 1
    3. C.égale à la somme de la deuxième colonne
    4. D.égale à 2
    Voir la réponse

    Réponse B : égale à 1

    Chaque ligne d'une matrice de transition représente toutes les transitions possibles depuis un état, leur somme vaut donc 1.

  8. 8.Dans l'exemple M = [[0,8,0,2],[0,3,0,7]], la distribution invariante est :

    1. A.(0,4 ; 0,6)
    2. B.(0,6 ; 0,4)
    3. C.(0,7 ; 0,3)
    4. D.(0,5 ; 0,5)
    Voir la réponse

    Réponse B : (0,6 ; 0,4)

    En résolvant π M = π avec π_1 + π_2 = 1, on trouve π_1 = 0,6 et π_2 = 0,4.